La clave de la paradoja está en el hecho de que ninguno de los triángulos tiene el mismo área que sus piezas componentes. El área de cada pieza es:
- Pieza roja: 12 cuadrados.
- Pieza verde: 8 cuadrados.
- Pieza amarilla: 7 cuadrados.
- Pieza azul: 5 cuadrados.
Las cuatro figuras (amarilla, roja, azul y verde) ocupan un total de 32 cuadrados, pero el triángulo tiene 13 de base por 5 de altura, lo que supone un área de 32,5 cuadrados.
La paradoja tiene una explicación simple: la figura presentada como un triángulo no lo es en realidad, debido a que en realidad tiene cuatro lados, y no los tres propios del triángulo. La "hipotenusa" no está formada por una recta, sino por dos con pendientes ligeramente distintas. Si comparamos los ángulos de inclinación de la hipotenusa respecto de la base de los triángulos rojo y azul vemos que son distintos. En el triángulo rojo el ángulo es 20.55°, mientras que en el azul es 21.8°. Así, la suma de los tres ángulos en la figura de arriba es menor que 180°, mientras que en la figura de abajo la suma de los tres ángulos es mayor que 180°.
El sábado pasado estuve con mi hija en el concurso que organiza la Facultad de Matemáticas de la Universidad Complutense de Madrid para alumnos desde 4º de Primaria hasta 2º de Bachillerato.
ResponderEliminarTe remito los problemas correspondientes al nivel 4 de 1º y 2º de Bachillerato, por si alguien quiere ejercitar las neuronas.En la página www.sociedadpuigadam.es/primavera hay problemas de otros años con sus respuestas.Las soluciones de los que te envio todavía no las han publicado.
En cuanto a la paradoja del cuadrado perdido que incluyes en la página, se la conoce también como paradoja geométrica de Paul Curry, famoso ilusionista de New York.
Efectivamente la explicación es que la figura no es en realidad un triángulo.Para que la hipotenusa fuera un segmento rectilíneo se deberia cumplir el teorema de Thales de semejanza entre el triángulo grande 3/8 = 0.375 y el pequeño 2/5 = 0.4 y como se puede ver no es así . Esta paradoja y toda una serie de juegos matemáticos, se encuentran recogidos en un libro de Fernando Blasco, catedrático de Matemáticas titulado " Matemagia " , en el que descubre la explicación matemática de diversos trucos de magia e ilusionismo.
Fernando de Lucas (ULC)